二項式定理教案

§3.1.1 二項式定理(1)

[教學目標]

(資料圖片僅供參考)

掌握二項式定理的內容,會求多項式的二項展開式,二項式系數以及二項展開式的通項;經歷二項式定理的推導過程,體會歸納－猜想－論證的思想方法,發展探究能力.

[重點難點]

經歷二項式定理的推導過程.

[教學過程]

一. 二項式定理的引入

123已知abab,aba22abb2,aba33a2b3ab2

4n的展開式,進而研究的展開式. abab

4ababababab,

0母的乘積,因而各項都是四次式: a4,a3b,a2b2,ab3,b4a4C4(每個括號都

1不取b),a3b的系數為C4(任取一個括號取ba),a2b2的系數為C42,

3ab3的系數為C4,b4的系數為C44.

40413244因此abC4aC4a3C4b.

1202122參照上式,有abb;abC2aC2abC2b;

312233 a3C3abC3ab2C3b.

二. n有

n1n1rnrrnnabCnabCnbnN* anCn

n右多項式叫做ab的二項展開式,共有n1項,其中各項的系數

rCnr0,1,2,,n叫做二項式系數,式中的Cnranrbr叫做二項展開式的通項,它是展開式的第r1項,用Tr1表示,即Tr1Cnranrbr.

用組合數的方法證明二項式定理.

三. 例題與練習

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1例1 求x的二項展開式. x

141131221314142xC4xC4xC4解: xx4C4x4x6. xx2x4xx-xx42344

例2

求x的二項展開式.

解

5 5

例解 例解例證例解例7 求2x1的展開式的第4項的系數.

3解: 2x1的展開式的第4項是T31C72x773713560x4.故所求系數為560.

335. 注: 第4項的二項式系數為C7

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§3.1.2 二項式定理(2)

[教學目標]

進一步掌握二項式定理及其展開式的特點;體驗二項式系數的對稱性.

[教學過程]

一. 復習回顧

n ninii0n1n12n22nn1. 二項式定理:abCnabCnaCnabCnabCnb, 展開式共 i0

有

二 例 解

. 解 例

解例3 已知1x展開式中的第5,6,7項的系數成等差數列,求n的值.

546CnCnn7orn14. 解: 2Cn例4 求的二項展開式中的常數項. 6

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解: 設二項展開式中的常數項為第r1項,即

Tr1Cr16

6r6kk,由0k3. 33k

所以二項展開式中的常數項為T4

n205. 821例

2*解例解例解例證例解 1x992x993x99100x99123100x995050x99,所求系數為5050. 上海大學市北附屬中學數學教學網

§3.2 二項式系數的應用

[教學目標]

了解二項式系數表及其特征,掌握二項式系數的性質;體驗”楊輝三角”的優美排列和數學規律. [重點難點]

二項式系數的性質. [教學過程]

一. 二項式系數表

n

將ab的展開式的二項式系數列表如下

1

11ab

2

121ab

3

1331ab 4

ab14641 5

1510105ab

6

16152015ab

n012n2n1n

CnCnCnCnCnab

二. 二項式系數的性質

性質1 (對稱性),即CnrCnnr.

性質2 (遞歸性)除1,即CnmCnm1Cnm1.

012n

CnCnCn2n. 性質3 第n2n,即Cn

三. 例1 求證的展開式中,奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數

的和 n0n1n1rnrrnn

證: abCnaCnabCnabCnb,令a1,b1,得

nn123n

CnCn1Cn11Cn0Cn

022r132r1

0CnCnCnCnCnCn

022r132r1CnCnCnCnCnCn.

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例2 在二項式1x的展開式中,求含x的奇次項的系數和.

0122331313

解: 方法一 1xC13C13xC13xC13xC13x

1313

所以展開式中含x的奇次項的系數和為C13C13C13.

13

13

02121313例;

當證例證四2233

x,Cnx,,xn的值也與零非常接近.所以1x1nx. 近,當n不太大時, Cn

例5 求下列數的近似值:(1)1.0003;(2)0.998. 解: (1)1.000310.0003150.00031.0015;

5

5

54

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(2)0.99810.002140.0020.992.

§3.2 二項式定理習題課

n nrnrr

1．abCnab;

r1

二 例 解

例 解 . 例 解

T一． 回憶復習二項式定理及性質

例4 若12xa0a1xa2x2a7x7,求a1a2a3a7.

解: 令x1,則12a0a1a2a7,又a01,a1a2a3a72. 例5設12x

100

7

44

a0a1x1a2x1a100x1,求a1a3a5a99.

2100

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解: 令x2,則5100a0a1a2a100,令x0,則1100a0a1a2a100,

510012a1a3a99a1a3a99

1100

51. 2

例6

設2

100

a0a1xa2x2a100x100,求

2

2

解例證例解例解例解: anC22n

n2

2n481128 anCnnn1n1n

22232n

limnaan2a3111111

18. 8limnn1n2233

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例11 證明46n5n19nN*能被20整除. 證: 46n5n194515419

n1n1nn1n1n

45Cn5Cn5154Cn4Cn419

1n2n1

n1n11n2n1n

n

例證

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1.3.1二項式定理教案2016-09-08 22:41 | #2樓

1.3.1二項式定理

公主嶺第三高級中學 數學組——張鶴

一.三維目標

1.知識與技能：了解二項式定理的形成和過程，掌握二項式定理，會用其展開式的通項求某一項。

2.過程與方法：了解二項式定理的推導過程進行類比，歸納推理推出二項式定理掌握二項式定理說明其應用。

3.情感態度與價值觀：體會知識間的遞進關系。

二．德育目標

1.提高學生的歸納推理能力

2.樹立由特殊到一般的歸納知識。

三，教學重點與難點

1.2.教學難點：運用多項式乘法及排列組合知識推導二項式定理的形成過程

授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析：

二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎．這部分知識具有較高應

用價值和思維訓練價值．中學教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數的性質等．

通過二項式定理的學習應該讓學生掌握有關知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧；進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；重視學生正確情感、態度和世界觀的培養和形成．

二項式定理本身是教學重點，因為它是后面一切結果的基礎．通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠，所以也應該是重點．二項式定理的證明是一個教學難點．這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當地運用組合數的性質2、需要用到不太熟悉的數學歸納法．

在教學中，努力把表現的機會讓給學生，以發揮他們的自主精神；盡量創造讓學生活動的機會，以讓學生在直接體驗中建構自己的知識體系；盡量引導學生的發展和創造意識，以使他們能在再創造的氛圍中學習 教學過程：

一、復習引入：

122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b；

1223⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各項都是4次式，

即展開式應有下面形式的各項：a4，a3b，a2b2，ab3，b4， 展開式各項的系數：上面4個括號中，每個都不取b的情況有1

1

種，即C40種，a4的系數是C40；恰有1個取b的情況有C4種，a3b的1系數是C4，恰有2個取b的情況有C42種，a2b2的系數是C42，恰有3

種，ab3的系數是C43，有4都取b的情況有C443個取b的情況有C4

種，b4的系數是C44，

132223344

∴(ab)4C40a4C4abC4abC4abC4b．

二、講解新課：

1nrnrrnn二項式定理：(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)

⑴(ab)n的展開式的各項都是n次式，即展開式應有下面形式的各項：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展開式各項的系數：

每個都不取b的情況有1種，即Cn0種，an的系數是Cn0；

11

恰有1個取b的情況有Cn種，anb的系數是Cn，……，

恰有r個取b的情況有Cnr種，anrbr的系數是Cnr，……， 有n都取b的情況有Cnn種，bn的系數是Cnn，

1nrnrrnn

∴(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)，

這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(ab)n的二項展開式，⑶它有n1項，各項的系數Cnr(r0,1,n)叫二項式系數，

⑷Cnranrbr叫二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項Tr1Cnranrbr． ⑸二項式定理中，設a1,bx，則

1rr(1x)n1CnxCnxx

三、講解范例：

例1．(1)展開(11)4．(2)

展開x

6

例2．（1)求(12x)7的展開式的第四項的系數 求(x1)9的展開式中x3的系數

x

練習 （1)(12x)5___________ （2___________ （3） 第三項的系數是___________ 練習 （1）求(2x3y)6的展開式的第三項 （2）求(3y2x)6的展開式的第三項

五、小結 ：二項式定理的探索思路:觀察——歸納——猜想—六、課后作業：

A層次：習題1.3 T2 、T3 、 B習題T4(1)(2)

若(2x3

1n

)的展開式中，若常數項存在，則2x

n的最小值

七、板書設計

1.3.1二項式定理

（1）

0n1nrnrrnn

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

（2）二項式系數 （3）Tr1Cnranrbr

r

(r=0,1,2........n) Cn

（4）二項式定理中，a1,bx

1rr

(1x)n1CnxCnxxn

例1

二項式定理教學案設計2016-09-08 13:51 | #3樓

《二項式定理(一)》教案設計

教材：人教A版選修2-3第一章第三節

一、教學目標

1.知識與技能：

(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理.

2.過程與方法：

通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．

3. 情感、態度與價值觀：

培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．

二、教學重點、難點

重點：用計數原理分析(ab)3的展開式，得到二項式定理．

難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規律.

三、教學過程

（一）提出問題，引入課題

引入：二項式定理研究的是(ab)n的展開式，如：(ab)2a22abb2，

(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展開式是什么？

【設計意圖】把問題作為教學的出發點，直接引出課題．激發學生的求知欲，明確本課要解決的問題.

（二）引導探究，發現規律

1、多項式乘法的再認識．

問題1. (a1a2)(b1b2)的展開式是什么？展開式有幾項？每一項是怎樣構成的？

問題2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展開式中每一項是怎樣構成的？展開式有幾項？

【設計意圖】引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，為后續學習作準備. 2、(ab)3展開式的再認識

探究1：不運算(ab)3，能否回答下列問題（請以兩人為一小組進行討論）：

(1) 合并同類項之前展開式有多少項？

(2) 展開式中有哪些不同的項？

(3) 各項的系數為多少？

(4) 從上述三個問題，你能否得出(ab)3的展開式？

探究2：仿照上述過程，請你推導(ab)4的展開式.

【設計意圖】通過幾個問題的層層遞進，引導學生用計數原理對(ab)3的展開式進行再思考，分析

n各項的形式、項的個數，這也為推導(ab)的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有

“法”可依．

(三) 形成定理，說理證明

探究3：仿照上述過程，請你推導(ab)n的展開式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二項式定理

證明：(ab)是n個(ab)相乘，每個(ab)在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計數原理

nkkbk(k0,1,n)的形式，對于每一項ab，

它是由k個(ab)選了b，n－k個(ab)選了a得到的，它出現的次數相當于從n個(ab)中取k個n可知展開式共有2項（包括同類項），其中每一項都是annk

kb的組合數Cn，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．

1

【設計意圖】通過仿照(ab)3、(ab)4展開式的探究方法，由學生類比得出(ab)n的展開式．二項式定理的證明采用“說理”的方法，從計數原理的角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的展開式．

(四) 熟悉定理，簡單應用

二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式）

1. 項數：共有n１項.

2. 次數：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n．

各項的次數都等于n．

012knk3. 二項式系數: 依次為Cn，這里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)稱為二項式系數.

knkk4. 二項展開式的通項: 式中的Cnab叫做二項展開式的通項. 用Tk1表示.

knkk即通項為展開式的第k１項: Tk1=Cnab

變一變 （1）(ab)n （2）(1x)n

例. 求(2x16)的展開式. x

思考1：展開式的第３項的系數是多少？

思考2：展開式的第３項的二項式系數是多少？

思考3：你能否直接求出展開式的`第３項？

【設計意圖】熟悉二項展開式，培養學生的運算能力．

(五) 課堂小結，課后作業

小結（由學生歸納本課學習的內容及體現的數學思想）

0n1n1knkknn1. 公式： (ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2. 思想方法：1.從特殊到一般的思維方式. 2.用計數原理分析二項式的展開過程.

作業

鞏固型作業：課本36頁習題1.3 A組 1、2、3

012kn思維拓展型作業：二項式系數Cn有何性質． ,Cn,Cn,,Cn,,Cn

教案設計說明

二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎．

本節課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題――探究”的教學模式， 把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發現和創造歷程．

本節課的難點是用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規律．在教學中，設置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．再以(ab)為對象進行探究，引導學生用計數原理進行再思考，分析各項以及項的個數，這也為推導(ab)的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有“法”可依．

總之，本節課遵循學生的認識規律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學生的參與過程，問題引導，師生互動．重在培養學生觀察問題，發現問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣．

n3

2

二項式定理教學設計2016-09-08 8:46 | #4樓

一、教學目標

1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用

2．過程與方法：培養學生觀察、歸納、猜想能力，發現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

3．情感態度和價值觀：培養學生勇于探索，勇于創新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學重點、難點

重點：二項式定理的發現、理解和初步應用及通項公式

難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區別

三、教學過程

創設問題情境：

今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解：

問題1 abdc的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

由于這一節是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

問題2 abb的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成a

的？有規律嗎？

學生根據乘法展開式也很快得出結論

問題3 abbaa2bab的3原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？

學生仍然根據乘法公式算出了答案

問題4 abbaaba的bab的原始展開式有多少項？

44問題5 你能準確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾

項？

此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）

啟發類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？

在4個括號（袋子）中

問題6 其個數，為何恰好應為該項的系數？

nrr

問題7 ab在合并后的展開式中，ab的系數應該是多少？有理由嗎？

n

問題8 那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想 學生們快速地說出

n

ab

n

0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

思路：證明中主要運用了計數原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

ab

n

是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相

nk

乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數是怎么來的？

bk的形式，k0,1,2,,n

k

ankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

kankbk，因此，該項的系數為Cn

定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有

ab

n

0n1n1n2n22knkknn

CnaCnabCnabCnabCnbnN*

n

注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

例：把b換成b，則

ab

n

0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

k

n

練習：令a1,bx，則

1x

n

01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

問題9 二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性

公式特征：

（1） 項數：共有n1項

（2） 指數規律： ① 各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式） ② 字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

knkk（3） 二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2,,n

012knk（4） 二項式系數：依次為Cn。這里Cn（k0,1,2,,n）稱為二,Cn,Cn,Cn,Cn

項式系數

現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數是多少，就是星期幾 老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以

n810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cn1，故100

應為星期四。

例1

求的展開式 方法一：直接展開 11

技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2x2x2 66

方法二：先合并化簡，再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一：展開式中的常數項是多少？

變式二：展開式中的第3項是多少？

變式三：展開式中的第3項的系數是多少？

變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？

注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。

例2 （1）求(12x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

13 （2）x的展開式中x的系數和中間項 x

例3 求(xa)12的展開式中的倒數第4項

小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區別二項式系數、項的系數

（3）掌握用通項公式求二項式系數、項的系數及項。

作業：P37 4，5

教學反思：本節課先用今天星期幾的問題創設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。

1.知識與技能：

(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理.

2.過程與方法：

通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的

能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．

3. 情感、態度與價值觀：

培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，

體會數學語言的簡潔和嚴謹．

二、教學重點、難點

重點：用計數原理分析 的展開式，得到二項式定理．

難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各

項系數的規律.

一、說教材

1、地位及作用：

二項式定理安排在高中數學選修2-3第三節,是排列組合內容后的一部分內容，其形成過程是組合知識的應用，同時也為隨后學習的概率知識及概率與統計，作知識上的鋪墊。

二項展開式與多項式乘法有密切的聯系，本節知識的學習，必然從更廣的視角和更高

的層次來審視初中學習的關于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。

2、重點難點分析：

重點：

（1）使學生參與并深刻體會二項式定理形成過程，掌握二項式系數的規律。

（2）能夠應用二項式定理、對二項式進行展開。

難點：

運用多項式乘法以及組合知識推導二項式定理的過程。

A.知識與技能

（1）使學生參與并探討二項式定理的形成過程，掌握二項式系數、字母的冪次、

展開式項數的規律。

（2）能夠應用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開。

B.過程與方法

通過二項式定理的推導過程，培養學生觀察，猜想，歸納的能力。

C.情感態度與價值觀

（1）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，培養學生解決數學問題的興趣

和信心。

（2）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，使學生體會到數學內在的和諧對稱美。

三﹑說教法和學法

1、教法

為了完成本節課的教學目標，讓學生主動探索展開式的由來是關鍵。本節課的教法貫

穿啟發式教學原則，采用多媒體輔助教學方法，以“引導思考”為核心，設計課件展示，并引導學生沿著積極的思維方向，逐步達到即定的教學目標，發展學生的邏輯思維能力；同時，考慮到學生的個體差異，在教學的各個環節進行分層施教，實現“有差異”的發展。

2 、學法

根據學生思維的特點，遵循“教必須以學為主”的教學理念，讓每一個學生自主參與整

堂課的知識構建。在教學的各個環節中引導學生進行類比遷移，對照學習。

3 、教學手段

利用電腦，投影儀等多媒體教學展現二項式定理的推導過程，激發學生的的興趣。