怎樣構建數學模型

一．創設情景

(資料圖片)

史寧中教授認為“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”。它鮮明地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質就是使學生體會和理解數學與外部世界的聯系。

“20 世紀中葉以來，數學自身發生了巨大的變化，特別是與計算機的結合，使得數學在研究領域、 研究方式和應用范圍等方面得到了空前的拓展。數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數學模型，進而解決問題。因此，在修訂版課標思想指導下，應用題教學已經不能僅僅局限于課本例題的教學，教師應該與時俱進，著眼于社會生活中豐富多彩的.內容，根據需要選取素材， 使應用題的教學內容與社會生活緊密聯系，賦予應用題教學鮮活的生命力，然后教師應該用教材教，而不能死板的教教材，只有這樣才能使學生更好的關注社會生活， 更好的體驗數學與生活的密切聯系。選取生活中的素材進行創造，可以使應用題的教學更富情趣，有利于學生情商的培養、興趣的激發，減少學生對應用題的畏懼心理。如，劉雯老師執教《相遇問題》時，先用媒體播放王明和李華上學的動畫情景（王明和李華分別住在學校的兩側，兩人同時從家出發，相對而行，經過5分鐘兩人同時到達學校。），誘發學生觀察兩物體的運動過程，尋找新知學習的切入點——喚起相遇問題的生活經驗。接著教師與學生聯手，現場模擬表演（王明與李華運動情況），引導學生用上“兩個物體”、“兩個地方、”“同時出發”、 “相對而行”、“最后相遇”這幾個關鍵詞描述他們的運動過程。這樣，從學生熟悉的生活實例入手創設問題情境，采用模擬表演、打手勢等直觀生動的演示方式描述王明和李華的運動過程，激發了學生數學學習興趣，調動學生積極主動地投入到探究學習活動中去，引導學生理解“同時出發”、“相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞的含義，掌握相遇問題的基本特征，初步建立相遇問題的模型雛形，為建立數學模型做好準備。

二．構建模型

修訂版義務教育階段數學課程標準，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅考慮到數學自身的特點，還關注學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。因此，在情景創設之后，教師的一般做法是引導學生親歷應用題模型的構建過程，賦予應用題鮮活的生命力，使學生潤物細無地漸入學習佳境。如，劉雯老師“相遇問題”這節課，一是先構建“圖形模型”。教師放手讓學生運用已有的知識基礎、方法策略和活動經驗，用自己喜歡的方法對問題情境中相關聯的信息加以梳理（如，圖畫、圖表等）。幫助學生直觀形象地理清信息與信息之間、信息與問題之間的內在聯系，為有效解決問題做好鋪墊；接著，對各種解題策略進行分析，比較各種方法的異同，突出畫線段圖整理信息的優越性和必要性；最后在“自主整理——組內交流——展示匯報——分析比較——提煉升華”等一系列活動中，引導學生獲得解決問題的策略，積累解決問題的經驗，提高解決問題的能力。二是構建“算式模型”。在學生自主整理信息，理清數量關系，明確解題思路，探究計算方法的基礎上，學生獨立列式解答，建構起了相遇問題的算式模型。三是構建“數量關系模型”。引導學生對分析解決問題的過程進行觀察與比較、分析與綜合、抽象與概括，煉出相遇模型背后所蘊含著的結構性關系，并運用形式化的數學符號刻畫出這種數學結構——“速度和×時間=總速度”，從而建立相遇問題的基本模型。

三．解釋與應用模型

分析解答應用題的過程，就是解釋與應用模型的過程。在小學低年級一般運用綜合法解答，到中高年級則需要分析法和綜合法的分別使用或者并用，在解釋與應用模型這一環節中，一般經過“理解題意、分析數量關系、列式計算、驗算寫答案”四個步驟。設置習題時要注意，一是要進一步創設問題情景，凸顯數學化過程；二是要循序漸進，有梯度；三是要具有啟發性、趣味性和拓展性，讓學生樂于解決實際問題，在解決實際問題過程中體驗成功的喜悅，培養應用意識，使學生的情商得以培養。如，劉雯老師“相遇問題”這節課，設計了“基本練習、變式練習和拓展練習”三個層次的、并帶有現實背景的練習，對相遇問題進行解釋與應用。使學生在生活化內容和數學化探索中，獲得知識、方法與數學活動經驗。

總之，數學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程。這一過程的步驟可用如下流程來體現：

觀察實際情境→發現提出問題→抽象成數學模型→得到數學結果。

首先是“從現實生活或具體情境中抽象數學問題”。這說明發現和提出問題是數學建模的起點。然后“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”。在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數學活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環節。最后，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義。顯然，數學建模過程可以使學生在多方面得到培養而不只是知識、技能，更有思想、方法，也有經驗積累，其情感態度（如興趣、自信心、科學態度等）的培養也會得以落實。