高一數學下學期單元測試題用二分法求方程的近似解測試

(資料圖)

1.下列函數零點不宜用二分法的是()

A.f(x)=x3-8 B.f(x)=lnx+3

C.f(x)=x2+22x+2 D.f(x)=-x2+4x+1

【解析】 由題意知選C.

【答案】 C

2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)內近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，則方程的根在區間()

A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)

C.(1.5,2) D.不能確定

【解析】 由題意知f(1.25)f(1.5)0，方程的根在區間(1.25,1.5)內，故選A.

【答案】 A

3.若函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，參考數據如下：

f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確度0.1)為________.

【解析】 根據題意知函數的零點在1.406 25至1.437 5之間，

因為此時|1.437 5-1.406 25|=0.031 250.1，故方程的一個近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之間的任意一個數.

【答案】 1.437 5

4.求函數f(x)=x2-5的負零點(精確度0.1).

【解析】 由于f(-2)=-10，

f(-3)=40，

故取區間(-3，-2)作為計算的初始區間，用二分法逐次計算，列表如圖：

區間 中點 中點函數值(或近似值)

(-3，-2) -2.5 1.25

(-2.5，-2) -2.25 0.0625

(-2.25，-2) -2.125 -0.484 4

(-2.25，-2.125) -2.187 5 -0.214 8

(-2.25，-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1，

所以函數的一個近似負零點可取-2.25.

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.方程12x=ln x的根的個數是()

A.0 B.1

C.2 D.3

【解析】 方法一：令f(x)=ln x-12x，

則f(1)=-120，f(e)=1-12e0，

f(x)在(1，e)內有零點.又f(x)在定義域(0，+)上為增函數，

f(x)在定義域內僅有1個零點.

方法二：作出y=12x與y=ln x的圖象觀察可知只有一個交點.故選B.

【答案】 B

2.方程2x-1+x=5的解所在的區間是()

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

【解析】 令f(x)=2x-1+x-5，則f(2)=2+2-5=-10，f(3)=22+3-5=20，從而方程在區間(2,3)內有解.故選C.

【答案】 C

3.利用計算器，算出自變量和函數值的對應值如下表：

x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4

y=2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556

y=x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56

那么方程2x=x2的一個根所在區間為()

A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)

C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)

【解析】 設f(x)=2x-x2，由表格觀察出在x=1.8時，2xx2，即f(1.8)在x=2.2時，2x

【答案】 C

4.函數f(x)=ex-1x的零點所在的區間是()

A.0，12 B.12，1

C.1，32 D.32，2

【解析】 f(12)=e-20，

f(1)=e-10，

∵f(12)f(1)0，

f(x)的零點在區間12，1內，故選B.

【答案】 B

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.用二分法求函數y=f(x)在區間(2,4)上的近似解，驗證f(2)f(4)0，給定精確度=0.01，取區間(2,4)的中點x1=2+42=3，計算得f(2)f(x1)0，則此時零點x0________(填區間).

【解析】 由f(2)f(3)0可知.

【答案】 (2,3)

6.用二分法求方程x3-2x-5=0在區間[2,3]內的`實數根時，取區間中間x0=2.5，那么下一個有根區間是________.

【解析】 ∵f(2)0，f(2.5)0，

下一個有根區間是(2,2.5).

【答案】 (2,2.5)

三、解答題(每小題10分，共20分)

7.求方程2x3+3x-3=0的一個近似解(精確度0.1).

【解析】 設f(x)=2x3+3x-3，經試算，f(0)=-30，f(1)=20，所以函數在(0,1)內存在零點，即方程2x3+3x-3=0在(0,1)內有實數解，取(0,1)的中點0.5，經計算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)內有解.

如此繼續下去，得到方程的一個實數解所在的區間，如下表：

(a，b) (a，b)的中點 f(a) f(b) fa+b2

(0,1) 0.5 f(0)0 f(1)0 f(0.5)0

(0.5,1) 0.75 f(0.5)0 f(1)0 f(0.75)0

(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)0 f(0.75)0 f(0.625)0

(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)0 f(0.75)0 f(0.687 5)0

因為|0.687 5-0.75|=0.062 50.1，所以方程2x3+3x-3=0的精確度為0.1的一個近似解可取為0.75.

8.求方程ln x+x-3=0在(2,3)內的根(精確到0.1).

【解析】 令f(x)=ln x+x-3，即求函數f(x)在(2,3)內的零點.

用二分法逐步計算.列表如下：

區間 中點 中點函數值

[2,3] 2.5 0.416 3

[2,2.5] 2.25 0.060 9

[2,2.25] 2.125 -0.121 2

[2.125,2.25] 2.187 5 -0.029 7

[2.187 5,2.25]

由于區間[2.187 5,2.25]的長度2.25-2.187 5=0.062 50.1，所以其兩個端點的近似值2.2就是方程的根.

9.(10分)在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障，這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在?

如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個點要爬一次電線桿子，10 km長，大約有200多根電線桿子呢!想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理?

【解析】

他首先從點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，發現AC段正常，斷定故障在BC段，再查BC段中點D，這次發現BD段正常，可見故障在CD段，再查CD中點E.

這樣每查一次，就可以把待查的線路長度縮減一半，故經過7次查找，即可將故障發生的范圍縮小到50 m～100 m之間，即一兩根電線桿附近.