一元二次方程的教案范例

(相關資料圖)

教學目標

(1)會用公式法解一元二次方程;

(2)經歷求根公式的發現和探究過程，提高學生觀察能力、分析能力以及邏輯思維能力;

(3)滲透化歸思想,領悟配方法，感受數學的內在美.

教學重點

知識層面:公式的推導和用公式法解一元二次方程;

能力層面:以求根公式的發現和探究為載體,滲透化歸的數學思想方法.

教學難點:求根公式的推導.

總體設計思路:

以舊知識為起點,問題為主線,以教師指導下學生自主探究為基本方式,突出數學知識的內在聯系與探究知識的方法,發展學生的理性思維.

教學過程

整體教學流程：形成表象,提出問題

分析問題,探究本質

得出結論,解決問題

拓展應用,升華提高

歸納小結,布置作業.

形成表象,提出問題

在上一節已學的用配方法解一元二次方程的基礎上創設情景.

解下列一元二次方程:(學生選兩題做)

(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;

(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.

然后讓學生仔細觀察四題的解答過程,由此發現有什么相同之處,有什么不同之處?

接著再改變上面每題的其中的一個系數,得到新的四個方程:(學生不做,思考其解題過程)

(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;

(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.

思考:新的四題與原題的解題過程會發生什么變化?

設計意圖:1.復習鞏固舊知識,為本節課的學習打下更好的基礎;

2.讓學生充分感受到用配方法解題既存在著共性,也存在著不同的現象,由此激發學生的求知欲望.

分析問題,探究本質

由學生的觀察討論得到:用配方法解不同一元二次方程的過程中,相同之處是配方的過程----程序化的操作,不同之處是方程的根的情況及其方程的根.

進而提出下面的問題:

既然過程是相同的,為什么會出現根的不同?方程的根與什么有關?有怎樣的關系?如何進一步探究?

讓學生討論得出:從一元二次方程的一般形式去探究根與系數的關系.

ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根據學生學習程度的不同,可

ax2+bx=-c 以采用學生獨立嘗試配方, 合x2+

x=-

作嘗試配方或教師引導下進行

x2+

x+

=-

+

配方等各種教學形式.

(x+

)2=

然后再議開方過程(讓學生結合前面四題方程來加以討論),使學生充分認識到“b2-4ac”的重要性.

當b2-4ac≥0時，

(x+

)2=

注:這樣變形可以避免對a正、負的討論,

x+

=

便于學生的理解.

x=-

即x=

x1=

, x2=

當b2-4ac<0時，

方程無實數根.

設計意圖:讓學生通過經歷知識形成的全過程，從而提高自身的觀察能力、分析問題和解決問題的能力，發展了理性思維.

得出結論,解決問題

由上面的探究過程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的"系數a,b,c確定. 當b2-4ac≥0時，

x=

;

當b2-4ac<0時，方程無實數根.

這個式子對解題有什么幫助?通過討論加深對式子的理解,同時讓學生進一步感受到數學的簡潔美、和諧美.

進而闡述這個式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.

運用公式法解一元二次方程.(設計兩個環節:共同練習和獨立完成)

[共同練習]

(1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;

(3)x2+15x=-3x; (4)x2-

x+

=0.

此環節的設計意圖:進一步闡述求根公式,歸納總結用公式法解一元二次方程的一般步驟.

[獨立完成]

用公式法解一元二次方程:

(1)x2+x-6=0; (2)x2-

x-

=0; (3)3x2-6x-2=0;

(4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.

此環節的設計意圖:能夠熟練運用公式法解一元二次方程,讓每位學生都有所收獲.

拓展運用，升華提高

分兩個環節：用一用和想一想(此環節基于學生課堂掌握的情況而定,可作為課后思考題).

[用一用]

解決本章引言中的問題:

要設計一座2m高的人體雕像,使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以小)的高度比,等于下部與全部的高度比,雕像的下部應設計為多高?

雕像上部的高度AC,下部的高度BC應有如下關系:

即BC2=2AC.

設雕像下部高xm,于是得方程

x2=2(2-x)

整理得:x2+2x-4=0.

解這個方程,得

x=

,

x1=-1+

,x2=-1-

.

精確到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.

考慮實際意義, x≈1.236.所以雕像下部高度應設計約為1.236m.

在前面的基礎上進一步提問: (結合學生的實際情況,可以放在課后思考.)

(1)如果雕像的高度設計為3m,那雕像的下部應是多少?4m呢?

(2)進而把問題一般化,這個高度比是多少?

之后簡單介紹黃金分割數,使學生感受到數學的奧妙.

此環節的設計意圖:①運用所學的知識解決實際問題;②能力層面上的拓展----化歸思想.

[想一想]

清清和楚楚剛學了用公式法解一元二次方程,看到一個關于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清說:“此方程有兩個不相等的實數根”,而楚楚反駁說:“不一定，根的情況跟m的值有關”.那你們認為呢?并說明理由.

此環節的設計意圖:基于學生基礎較好,因此對求根公式作進一步深化,并綜合運用了配方法,使不同層次的學生都有不同提高.

歸納小結,布置作業

結合上面用一用,讓學生嘗試對本節課的知識進行梳理,對方法進行提煉,從而使學生的知識和方法更具系統化和網絡化,同時也是情感的升華過程.

作業: (結合學生的實際情況,可以分層布置.)

㈠作業本;

㈡拓廣探索:P46第12題

㈢閱讀思考P46-----黃金分割數,有興趣的同學可以上網查閱相關資料,或進一步探究根與系數的其他關系.